0.999999999循环等于1吗？

等于

在数学的完全实数系中，循环小数0.999…表示等于1的实数，即0.999…表示的数与1相同。这个方程目前有各种证明；它们有着不同的严谨性和背景假设，都包含着真实的条件，即阿基米德公理、历史脉络和目标受众。

无限循环小数0.999.严格等于1。

很多网友会通过一些初级的方法来理解这个事实。这里有三个代表性的基本想法：想法1:

设a=0.999.

10a=9.999.

那么9a=10a-a=9.999.-0.999.=9.

因此，a=1。

想法二：

因为1/3=0.333，

so 1=(1/3)3=0.333.3=0.999 .

想法3:

0.999 .可以认为是一个几何级数，第一项为0.9，公比为0.1

的所有项目的总和。

根据等比级数求和公式，

但需要强调的是，以上三种思路可以直观理解，但不能视为“1=0.999……”。原因是无限小数的严格表示像“0.999……”已经超出了初等数学的范围，普通的加减乘除运算也不能想当然，所以上述三个初等思想只能算是“投机取巧”的“初等理解”，而不能称为“严格证明”。

为了给出1=0.999的严格证明.我们需要了解从有理数构造实数的方法。这个构造过程会让我们对无理数的理解更加深入，而不仅仅停留在‘无限无环小数’的直观层面。

在过去的几十年里，许多数学教育研究者研究了公众和学生对方程的接受程度。许多学生在学习之初就怀疑或否定了这个方程，然后许多学生被老师、课本和后面几章的算术推论说服接受了两者是相等的。然而，许多人仍然经常感到怀疑并提出进一步的论点，这往往是由于许多背后的因素，如对数学实数的错误想法。比如我们认为每一个实数都有唯*的小数展开式，而且那个无穷小不等于0，那个0.999…被认为是一个不定值，也就是说这个值只是不停地展开，无限展开，所以和1的差总是无穷小而不是零，所以是“几乎总是”。我们可以构造这些直觉数系，但只能在初等数学或大多数高等数学中使用的标准实数系之外进行。事实上，有些设计包含“恰好小于1”的数字。但这些数字与0.999无关……(因为在理论和实践上没有实质性的用途)，却在数学分析中引起了相当大的关注。